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作者：佚名文章来源：网络点击数更新时间：2011/1/25 文章录入：瑞达责任编辑：瑞达科技

引言:

微波滤波器, 由于微波的特殊性, 微波电路所采用的元件在结构上和普通电路所用的元件是截然不同的。元件结构上的这种差异引起了微波滤波器的特殊性, 当然作为滤波器, 它和其他滤波器具有许多共性.这就是我们第一部分所讲的内容。

微波传输线有多种形式: 同轴线、波导、微带线等等.就拿微带线来说, 实际采用的也有几种不同的结构。同轴线和微带线传输TEM波型; 波导只能传输TE(H)波或TM(E)波。加上机械结构的不同, 这就决定了不同的微波滤波器各有其特殊性。下一节首先讨论微波滤波器的共同点, 然后再分析波导滤波器的特殊性。

§1-1 微波滤波器的频率特性

从图28可以看出, 带通滤波器的组成部分是许多串联谐振回路和并联谐振回路。以前已经学过, 各种开路和短路的传输线段都具有串联谐振特性和并联谐振特性。人们自然会想到应用传输线谐振器作为带通滤波器的组成部分, 而且实际也是这样做的。

可是, 传输线理论也指出: 传输线谐振具有两个特点:

(1) 多谐性 ── 传输线谐振器具有许许多多谐振频率, 所以当频率改变时, 微波带通滤波器所用的传输线谐振器将多次出现谐振现象, 而这种情况是集中参数的LC回路所没有的。由于谐振现象的反复出现, 微波带通滤波器的滤波特性将发生改变。其具体体现就是通带和止带在频率轴上不断交替出现。如果我们将器件损耗L_A与频率ω的关系绘出来, 将会获得图28所示的情况。对于集中参数带通滤波器,这种情况是不会出现的。设计一个通带便只有一个通带, 在微波滤波器中, 第二通带(实际上还存在第三、第四...等等通带)的出现可能关系到设计的成败, 是一个值得注意的问题。

低通和高通滤波器所用的元件是单独的电感和电容, 这在集总参数电路内是很容易获得的, 但在微波传输线上却不这么容易, 而且根据传输线形的不同, 体现的难易程度也不一样。一般来说, 半集中参数(即大致具有集总数性质)的电感和电容在微带线上较容易实现, 同轴线次之, 在波导内便要比较复杂的结构。

(2) 传输线谐振器还有多模性 ── 允许多个模式同时工作的可能性, 而一旦出现了高型波, 器件的正常工作便受到影响, 微波滤波器的滤波性能受到一定的限制。所以, 一般是要避免出现高型波。但是, 事情总是两方面的, 目前也有用多模做成的滤波器, 这就是利用了高型波。

同轴线和微带线传输TEM波, 并不存在截止波长的问题。所以这两种传输线的低通滤波器具有真正的低通特性, 即频率为零(直流)至频率等于所设计的截止频率ω_c的信号都是可以顺利通过这种滤波器。但是空心波导所传输的是H波或E波, 这里存在一个截止波长λCH₁₀(注意波导的截止波长和滤波器的截止频率ω_c不是一个概念)。所以, 波导低通滤波器的低通概念和一般滤波器不同, 直流是肯定通不过的。

也正是因为波导所传输的是H波或E波, 直接决定器件特性的参数是导内波长λg, 而不是ω。所以在波导滤波器的设计中, 首先应根据波导的具体尺寸和频率与导内波长的函数关系, 把所给出的一切频率数据转变为导内波长数据。

下面我们就来对自由空间频率变化和波导内的导内(亦叫波导波长)波长变化之间的关系进行研究。这里要用到函数的微分。一般的滤波器的指标, 都是以工作频率的形式给出的。但是在波导内, 电磁波是以横电波(TE波)或横磁波(TM波)的形式传输的。例如常用的TE₁₀波, 它可以看成是电磁波在波导窄壁上来回反复的结果,所以它在波导内是以波导波长λg来表征它的波长的。和电磁波的自由空间中的波长λ₀又不同, 两者之间有下列关系:

其中:λg 是波导波长, λ₀是自由空间中波长, a是波导管的宽边尺寸, 在波导中传TE₁₀波时, λg和λ₀的关系就是这样。我们首先来看电磁波的自由空间波长λ₀的变化和波导内的波导波长λg变化之间的关系。我们对上式两边取微分,则有:

整理后得:

用λg来除两边, 则有:

这个公式说明, 波导波长的相对变化率 dλg/λg 和自由空间波长的相对变化率dλ₀/λ₀之间, 差一个因子(λg/λ₀)², 因为λg一般总是大于λ₀, 所以 (λg/λ₀)²在一般正常的波导使用情况下近似等于2。到此, 还没有把波导波长和相对的频率变化率联系起来。我们知道, 自由空间波长λ₀和光的传播速度以及电磁波的频率f有下列关系:

同样对两边取微分得:

这个公式说明, 自由空间波长λ₀的相对变化率和工作频率的相对变化率是一样的, 不过差一个负号, 这说明, 频率向增加的方向变化时, 波长却向着减小的方向变化。再把它代入上式, 则有:

这个式子就是我们学习波导滤波器时, 第一个涉及的内容。它在物理含义上可以作下列解释: (1) 频率向增大的方向变化时, 波导、波长却向着减小的方向变化 λ₀。 (2)频率的相对变化率和波导波长的相对变化率差地个因子(λ₀/λ_g)², 对于一般情况, 这个因子近似地等于0.5。这就是说, 频率的相对变化率是1%时, 对应了波导的相对变化率2%。也就是波导波长以近乎是一半的变化就抵得上频率的一倍的变化。我们可以通过图29中的两条曲线的关系来说明, 从图中可知，用波导来实施带通滤波器时，由于波导的色散效应，使得波导滤波器的选择特性比在自由空间中的其他形式滤波器的选择性又额外地好了一倍。所以，在设计这类滤波器时，必须注意这一点。

下面我们仍以前一节的滤波器设计为例, 进行计算。

(1) 计算导内波长的数据:

设采用34.85×15.80的矩形波导, 则H₁₀波的截止波长为:

λc=6.970厘米

根据波导波长λg和自由空间波长λ₀保持以下关系:

以上关系式是通用公式, 式中f用GHz即10⁹Hz表示, λc用厘米表示, 所以算得的λg的单位亦为厘米。

上一节的要求(3)规定, 滤波器的3db带宽必须大于f_信±19MHz, 同时又必须小于f_信±24MHz。这里有四个频率。现在f_信=6.680GHz, 故这四个频率为:

应用式可得这四个频率所对应的波导波长分别为:

根据这四个波导波长, 可以算出滤波器的截止导内波长为:

与信道频率的波导波长相差极小。

上一节要求(5)规定: 在f_信±70MHz上, L_A=50db。这里还有两个频率:

它们所对应的波导波长为:

(2) 计算波导波长带宽W_λ

以具体数字代入得:

波导滤波器需用波导波长计算带宽。与以前用频率计算来比较,带宽几乎增大一倍(原来W=0.644%)。

(3) 由导内波长推算母型低通滤波器的对应频率ω':

对应:

(4) 选择元件数n

从上面计算结果可知, 现在决定的因素是从附图的曲线可以查得, 当时, n=5的曲线给出LA=50.05db。所以取n=5还勉强可以满足要求。

上一节的第四项要求在n=5时仍可满足有余, 这里便不详细计算了。

§1-2 传输线谐振器

这一节所讨论的传输线谐振器是广义的, 即为但包含双线传输线谐振器, 而且还包括微带线谐振器、同轴线谐振器和波导谐振器等。

在讨论传输线谐振器以前, 让我们先重复一下串联和并联谐振回路的一些基本概念。

图30(a)是一个L₁和C₁组成的串联谐振回路, 它的谐振频率ω₀是:

　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
假如现在还有另外一个串联谐振回路, 它由L₂和C₂组成, L₂≠L₁, 但,那么, 这个串联回路的谐振频率和前一个回路完全一样, 但这两个回路之间究竟有什么差别呢?

如果我们计算回路I的输入阻抗Z, 我们得到:

当ω=ω₀时, Z₁=0。但当频率偏离ω₀, Z₁便是一个纯电抗, 根据频率的不同, X₁的大小也不一样。我们可以将上式改变一下:　

变换到这一步, 上式还是完全准确的。当频率ω偏离ω₀很小时, 我们可以认为:

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ω+ω₀=2ω
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ω-ω₀=Δω
将以上关系代入, 我们得到:
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 X₁=2L₁Δω
于是, 我们得到这样一个结论: 对于一个串联谐振回路来说, 当频率ω从ω₀偏离一点点, 变成为ω₀+Δω时, 输入电抗X从零改变成一数值Δx, Δx 是与串联回路的电感L成正比。
所以, 对于谐振于同一频率的两个串联回路, 如果它们所用的元件不同, 则当频率偏离ω₀时, 这两个回路的反应是不一样的; 具体一点说,　,就是它们的输入阻抗的变化是不相等的。对于同一频率增量Δω, 串联回路的电感L愈大, 输入电抗上升愈快。事实上人们正是利用了这个关系, 使从外表看来完全相同的电路结构给出不同的滤波特性。
　　　

根据以上的讨论, 我们可以利用微分学上取极限的概念, 把一个串联谐振的电感L表示为:

　
在微波技术中, 电感L已失去了它的具体含义, 但在一个谐振腔的入口, 仍具有确切的意义。我们之所以要进行以上的数学变换, 原因就在此。人们把一个呈现串联谐振的传输线谐振器的称为它的电抗斜率参数, 这里用X来表示:

决定了一个具体串联谐振器在谐振频率ω₀附近的特性。
应用完全相同的方法, 对于图31的并联谐振回路, 我们可以得到它的输入导纳Y为:

Y=jB

这个并联回路的参数C等于:

与呈现串联谐振的谐振器的电抗斜率相对应, 人们为并串联谐振器提出电纳斜率参数:

决定一个具体并且谐振器在谐振频率ω₀附近的特性。
　　　
通过以上的讨论, 我们把普通串联谐振回路的参数L或并联谐振回路的参数C与传输线谐振器的一些参数联系起来了。
　　　
前面已学过, 任何一段短路或开路传输线都具有谐振特性。对于终端短路的一段传输线来说, 当它的长度l=λ/4时,它的输入端呈现并联谐振性质; 当l=λ/2时,输入端呈现串联谐振性质。对于终端开路的一段传输线来说, 当它的长度l=λ/4时, 输入端呈现串联谐振; 而l=λ/2时, 输入端呈现并联谐振。不论是微带线、波导或同轴线都具有这种特性。这是在微波滤波器中, 人们能够非常便利地采用的谐振器。
　　　
这里让我们比较深入地看一段L=λg₀/2的终端开路的波导的情况。图32(a)表示这样一段矩形波导; (b)是它的等效线路。它的输入阻抗Y是:

式中的Yc是波导的特性导纳; λg₀是滤波器的中心导内波长; a是电磁波在波导内的相位常数:

　　　　　　　　（10）

注意当频率改变时, λg是个变数, λg=λg₀, 式中给出Y=jYc tgπ=0, 输入端呈现并联谐振。当频率偏离了谐振频率, 导内波长不再等于λg₀了。导内波长的改变引起相位常数a的改变(式10)。这就决定了一个。根据以上的讨论如果单从传输线谐振器本身去考虑, 只要通过改变Yc和λc才能改变电斜参数b。Yc和λc的调整意味着波导截面尺寸的改变。假如硬要从这方面去解决, 一个滤波器的各部分的谐振器必然是一段段尺寸不同的波导, 结果将带来极难解决的结构问题。　
　　　
那么, 怎样去改变波导谐振器的电纳斜率参数呢? 人们在波导谐振器的两端收入两个相同的电抗元件, 加模片或感性棒之类。图33(a)表示一种具体结构, (b)是它的等效电路。通过元件电纳值b的选择, 人们可以在一定范围内改变。注意加入电抗元件后, 谐振器的长度l应随之改变。关于谐振腔长度的计算下面还要专门讨论。

§ 1-3 倒置器(微波滤波器的特殊问题)

从图27中可以看出, 带通滤波器各组成部分都是谐振回路, 这些谐振回路有些是串联谐振回路, 有些是并联谐振回路, 前者构成滤波网络的串接臂, 后者跨接臂。在波导滤波器中, 人们又怎样使图33(a)的导波谐振器在一定场合下呈现串联谐振的特性, 在另一场合下却呈现并联谐振特性? 而且当具有串联谐振回路的作用时, 它好象是一个串接臂, 而当具有并联谐振回路的作用时, 却好似一个跨接臂呢? 这就是本节所要解决的问题。

图34是一个λ/2开路传输线谐振器的等效电路。根据传输线理论, 当我们将负载Z接入谐振器的终端2-2'时, 在谐振器入口1-1'处的输入阻抗应为:

这里，，现在，故上式可以写成

如果我们只参考频率ω在谐振频率ω₀附近变化的情况(这在滤波器的设计中是可以允许的)。πω/ω₀的数值只在π的附近变化。在这种情况下,

，

故输入阻抗的表示式可以写成:

现在让我们根据上式看看两种不同的情况。第一种情况是终端入的阻抗较低，即。在这种情况下，上式的右方分母上的第二项与1（第一项）相比较，可以略去不计。故谐振器入口1-1’的输入阻抗大致是

这个关系式右方的第二项代表了传输线谐振器的作用。它在这里起着串联谐振回路的作用（所以这样说是因为它与频率ω的函数关系相同于普遍的串联谐振回路），而且它的效果与串接臂上的串联谐振回路相等（从阻抗相加的关系来看）。因此，在终端接入的阻抗较低的情况下，我们得图35（a）的等效电路。

另一种情况是终端接入较高的阻抗，即。在这种情况下，上式的右方分子上的第二项与Z'相比较，可以略去不计。故谐振器入口1-1’的输入阻抗大致是

以上关系式所包含的意义等于是

根据电路原理，上式右方两项的导纳相加代表两个支路的并接。一个支路的导纳等于，即原来接入终端的负载。另一支路（这意味着跨接臂了）的导纳是，实际就是一个并联谐振回路的输入导纳。第二个支路反映了传输线谐振器所起的作用。因此，在这种情况下，我们得到了图35（b）所示的等效电路。

同样一个谐振器，由于所接负载的不同，起着截然不同的作用。

那么，人们怎样可以改变负载阻抗的数值呢？我们已经提到λ/4变换器，λ/4线段具有阻抗倒置特性。在图36所示λ/4线段的一端接入一个阻抗Z，设线段的特性阻抗为K，则在另一端的输入阻抗将为

（11）

适当选择线段的特性阻抗K，人们可以调整负载对谐振器所提供的阻抗。象λ/4线段的这样器件称为倒置器。

倒置器的一个更重要的特点是：通过式（11）的关系，它能够把接于它终端的阻抗的性质，在它的输入端改变成相反的性质。举例来说，它可以把接于终端的一个电容在它的输入端变成一个电感；或者把接入终端的一个串联电路在输入端变成一个并联电路。所以，如果我们在一个串接元件（例如图37（a）的L）的出、入口各接上一个倒置器，则对于外界电路来说，这个串接的元件将起着一个跨接着的，且性能相反的元件的作用（如图37（a）右边等效电路的C）。同样，如果我们在跨接元件的两方各接入一个倒置器，则对外界电路来说，这个跨接元件所起的作用相同于一个串接的性质相反的元件，如图37（b）的C与L。对于图37的C和e的串联和并联电路，倒置器也有改变连接位置和电路性质的作用。

因此，对于倒置器在滤波网络里面的作用，人们也可以这样去理解：倒置器把图38（a）的既有串接电感又有跨接电容的母型低通滤波器，改变成性能完全相等的只用串接电感（或只用跨接电容）的母型低通滤波器（图38（b）或（c））。当然根据后面那种母型滤波器推算出来的其他滤波器自然也就只有串接臂（或跨臂）了。图38（b）的倒置器称为阻抗倒置器或K倒置器，（c）的称为导纳倒置器或J倒置器。

应用λ/4线段作倒置当然简单，但这种线段对频率非常敏感，在宽带带通滤波器中，对工作性能有影响，人们设计出许多其它倒置电路。图39给出四种常用的阻抗倒置器，其中以（c）用得更多。Z₀是主传输线的特性阻抗（当然也就是倒置器所用线段的特性阻抗），X是所加感性元件的电抗，φ是倒置线段的电气长度（φ=αl）。在C的具体情况下，这个长度是一个负数，需由传输线谐振器把它吸收掉，这种倒置器才能实现。

（c）和（d）

§ 1-4 1/4波长耦合滤波器

从这一节开始,我们就来讨论特殊形式的滤波器----波导滤波器。在前一节中，我们已经组了把由低通母滤波器换算成带通的滤波器。进一步变换成清一色的并联（或串联）谐振器间夹一个倒置器的微波上容易实施的形式。参见图37（c）和（d）。如果我们用1/4波长的波导段作为具体的倒置器，再用两个电抗元件电感棒（或电感膜片）夹一段波导作为谐振器来代替图27中的串谐振回路，那么，我们就有了图40所示的一个称为λ/4耦合滤波器。

b1,b2分别代表电感棒（膜片）的电纳归依值。图中没有绘出调整设备。I-II段为该滤波器的基本单元.该类滤波器就是由这样的基本单元级连而成.将基本单元画于图41，它是由一个谐振腔组成。谐振腔包括一段电长度为θ的传输线和两个电纳归依值等于jb的并联元件，为了书写方便可舍去下标“1”。由于我们讨论窄频带滤波器，假定电纳b不随频率变化。在谐振腔二端各延长φ/2，便与第二谐振腔耦合。

(一）1/4波长耦合滤波器基本单元的分析方法。

对于图41所示的基本单元，我们可以先用通用矩阵[a]来求出该单元的插入衰减和插入相移。

在第一部分中，我们已经求出了通用矩阵[a]时的插入损耗（衰减）表示式

（12）

其中，A、B、C和D都是两端对网络的通用矩阵参数。对于无耗的电抗网络，B和C是纯虚数。如果我们假设B=jb, C=jc，那么

又因为无耗网络的情况下：

以及

则上式成了

式12就成了：

插入相移为：

(13)

又因为一般滤波网络具有对称结构，所以有

这样插入损耗公式就简化为：

对于图41所示的谐振腔，如果不考虑二端φ/2的耦合长度，其[a]矩阵可以写为：

式中：

根据式（12）插入衰减是

（14）

式中

由式（13）可知，插入相移是

在中心波长时，应当是完全传输，插入衰减应为零分贝，故L=1, 即m=n, x=0，所以相应的谐振腔长θ₀（电长度）为

（15）

机械长度为

（16）

λ_g0为中心波导波长。

现在，我们的空腔没有封闭，两边是电感棒（或电感、电容膜片），如果是电容膜片，则b值为正，由式（15）可知：θ₀可以从0到 π/2 之间变化，由式（16）可知：其机械长度 l <λ_g0/4 。通常用的是电感棒（或电感性膜片），则b为负值，于是 θ₀从π/2到 π，机械长度l >λ_g0/4 。这幌窒蟠游锢砀拍钌鲜强梢岳斫獾摹５缛萜鸺映ば痴袂怀ざ鹊淖饔茫孕痴袂槐匦攵桃恍５绺衅鹚醵绦痴袂怀ざ鹊淖饔谩Ｋ孕痴袂槐匦氤ひ恍?/FONT>

如果并联电纳b远大于2，则 θ₀约等于π，l约等于λ_g0/2，将θ₀代入式16，可以得到中心波长时的插入相移

（17）

如果考虑到谐振腔两端各接上φ/2 的传输线（图41），则[a]矩阵为

式中

此时的插入衰减

可见，参考谐振腔两端耦合段后，谐振腔的电长度θ₀不变，仍满足式（14）。但插入相移将随耦合段的电长度变化。在中心波长下，谐振腔两端的耦合长度φ=φ₀通常取

将式（17）代入上式得

因此，基本单元图41可绘成图42 所示的那样，图中标出的都是中心波长下的电长度。

（二）谐振腔的Q值

插入衰减也可用四端网络的有载Q_L来表示为

与式（14）比较得

式中，f₀为中心频率。Δf为工作频率与中心频率之差。

根据定义：

式中f₀为中心频率，f₂和f₁分别是

时的频率，即半功率点的频率。

但是，在波导中，主要的特性都是以波导波长λ_g作为变量的，所以，这时

或

（18）

现在就要找出θ₁和θ₂，我们还是从插入衰减的公式着手。找θ₀时，令x=0。现在，我们令x=±1，则有

解得：

代入式（18）得

（19）

如果b 很大，因而2*(b⁴+4b²)^-1/2很小，则上式近似地可用下式表示：

（20）

在这里，有一点要说明：式（20）只适用于非色散的传输线中。即：在此情况下，λ₀=λ_g 。但是，在有色散的传输线中，例如波导中传横电波（TR₁₀波）时：λ₀和λ_g 是非线性关系的，这就有以前推导出的结果。

（21）

所以考虑了色散的影响，谐振腔的有载Q_L会增加（λ_g0/λ₀）²倍。这在波导滤波器的设计中是很重要的概念。而且，把谐振腔的有载Q_L值与波导两端的加载电纳b联系起来，为滤波器的设计打通了道路。

不过，在正式讲λ/4耦合滤波器的设计以前，我们还必须把谐振腔的有载Q_L和低通母型滤波器的各元件值挂上钩。

通过低通变换到带通，又用λ/4倒置器，我们可以把有串联谐振回路又有并联谐振回路的带通电路变换成光有并联谐振回路组成的滤波器。如图43所示。为了清楚起见，先画了一个并联谐振回路。其中g_K是低通原型滤波器的元件值。这个谐振回路的负载和电源内阻均为归一化电导，G₀=G_n+1=1，所以并联在各谐振回路上的损耗电导是1+1=2，于是回路Q值为：

把

代入上式，则

(22)

式中:

称为集中参数带通滤波器的总Q , Q_K是第K个支路的Q 。这式表明：带通滤波器的第K个谐振回路的Q值是低通母型滤波器的归一化元件值g_K 乘以Q_T /2。加上前面已讨论的谐振腔的Q和两边的电纳b之间的关系，这样，在设计波导带通滤波器的过程中的特殊问题，算是解决了一半，从低通母型变换到了波导型带通滤波这种特殊的微波结构。另一半是什么呢？这就是解决λ/4线段阻抗倒置变换器特性，以及，另一个重要课题，在波导中的电感是什么样的？如何计算？所以，我们再用两小节来讲述它们。不过，由于，波导中的电感棒问题又是一个很复杂和烦琐的工程问题，而且又涉及许多应用数学，故我们只打算给出具体的计算公式。而不详细去推导它们。

（三）λ_g /4阻抗倒置器的特性

如前所述，在波导谐振腔之间相互距离λ_g /4线段的目的，主要起到阻抗变换的作用。解决用并联谐振回路来代替串联谐振回路。同时，各谐振腔相距λ_g /4，还可以起到各元件之间相互隔离作用。在设计滤波器时，我们通常是假设各个电感、电容元件是相互间没有互电容和互电感的理想元件。在低频时适当采取屏蔽措施，做到互电容、互电感可以忽略是可能的，但在微波波段各元件都安置在一个波导管内，采取屏蔽措施是不可能的。因而安置各个谐振腔，使它们之间相距λ_g /4，会收到大大削弱相互影响从而使互阻抗可忽略不计。

下面，我们分析λ_g /4波导线段的阻抗倒置器的特性。为此，我们考虑图44的情况，图中令波导段传输线的长度为l，终端联结一谐振腔。其等效电路用LC 回路代表，同时，并联一匹配电导Y₀。如果不它表示为归一化的通用形式，按照过去的分析，在谐振频率附近的谐振腔归一化导纳值用ΔB表示，则根据公式，ΔB可表示为：

ΔB与Δ（1/λ_g ）都表示在谐振频率附近谐振腔归一化导纳B值与波导波长的倒数1/λ_g 的微小变化值，考虑谐振腔并联Y₀效应在内，终端负载导纳 Y的表示式(在谐振频率附近)可写为：

(23)

再令,

则上式可写为：

(24)

由传输线的关系式可知，图44中的A-A处的输入导纳Y_in应为：

(25)

式中：

把式（24）代入式（25）则得：

(26)

取l=λ_g /4, 则得谐振频率时的 θ₀为：

当频率离开谐振点时，1/λ_g 也由1/λ_g0 变为1/λ_g0 +Δ（1/λ_g ）, 因此可得θ的表示式为：

我们考虑的是窄频率的情况，因而δ<<1，故近似可得：

把它们代入式（26），则得：

(27)

由式（27）可知 πδ/2项的出现是由于线段在频率变化时引起的相位变化的结果，这完全由于加进了λ_g/4线段，若忽略(πδ)/2项则由式（27）可得：

亦即A-A端的输入阻抗变为：

(28)

上式表示λ_g /4线段可看作一个理想的阻抗倒置器（其阻抗倒置作用与频率特性无关），它可以起到把并联谐振回路变为串联谐振回路的作用。由于波导谐振腔都是并联结构，因而加λ_g /4的波导段就可以获得等效电路必须的串联谐振回路。但这是在忽略λ_g /4线段频率特性影响（忽略(πδ)/2项）的结果，为了考虑此影响，我常常采取修正谐振腔的Q_P值方法，以使λ_g /4线段等效于一理想阻抗倒置器。对此方法的原理在下面加以叙述。

由公式（27），可将A-A端输入导纳画成图45的等效特性图。图45（a）是式（27）的结果。而图45（a）等效于图45（b），在图（b）中，引入理想倒置器以使1+j(4Q_Pδ+(πδ)/2) 导纳，而这个图（b）又可用图（c）来等效。图（c）中，将谐振回路j(4Q_Pδ+(πδ)/2)分裂成两个谐振回路并联（j(πδ)/2 与4Q_Pδ两个回路）。由图45（c）可见，λ_g /4波导传输线近似等效于一个理想阻抗倒置，不过此变换器两端还接有归一化导纳为j(πδ)/2的谐振回路，也就是图45（c）虚线之间的电路可近似等于图45中长为l =λ_g0/4 那段线的作用。这由物理意义来讲是把阻抗倒置器的分布参数频率特性分离出来，而用一个集中参数的电路频率来代表。

从上面知道，这种阻抗倒置器的频率特性，相当于Q=π/8的并联谐振电路。为了消除这种频率特性，我们是这样做的：把阻抗倒置器两边的那两个支路的Q_P 中扣除π/8，也就是在设计谐振电路时，Q_P 中有意减去π/8，这个正好由阻抗倒置器产生的Q=π/8的谐振电路来补足。

让我们回顾图40，可见除第一个回路和最末第n 个回路外，其他的回路都与两个λ_g/4线相接，（左右都是λ_g/4线），所以这样的回路，Q_P 应扣除π/4，而第一个回路和第n个只要扣除π/8，即

(29)

上式中当K=1和n时，β=1，而当K 为其他值时β=2。同样我们可推论出采用3λ_g /4线段也可作为阻抗倒置器，而此时其频率特性所产生的谐振回路的Q值应为3π/8，应用更长的线段也可以，但由于体积太大，故很少用，此时其频率特性产生的谐振回路的Q值也可以类推。

由于式（29）的结果，设计带通滤波器时计算谐振腔本身Q_P 值的公式（22）应修正为：

(30)

由上式可见，考虑了λ_g /4线段的频率特性，在设计时谐振腔本身Q_P 值需较式（18）进一步缩小才能满足要求值。

（四）电感棒计算公式

因为圆柱电感棒易于加工，结构简单，我们通常用圆柱电感棒来实现设计计算得出的B₁值。由于圆柱销钉为电感性，相应的B₁值为负数，从而由式（16）得到：
因此由圆柱销钉作B 时求得的谐振腔的长度l 应在λ_g0/4与λ_g0/2之间。
对穿波导的金属圆柱销钉B的计算公式如下：
两棒时：
三棒时：
四棒时：
其中r为圆柱的半径，a为波导宽边，λ_g 为波导波长，为工作波长。这些公式，计算颇繁，还可以查表l。至此为止，除了电感棒公式没有详细推导，别的内容都作了仔细的推导。所以这样做，是希望读者知道理论研究工作的内容，这么一个小小的波导滤波器，居然涉及了这么多的内容。而且，在以后的学习中，在弄通了这些内容，又可以对其他学习有很大的帮助。
　

§ 1-5 1/4波长耦合滤波器的设计

根据上面分析计算结果，对于波导型带通滤波器的设计计算的步骤，以及设计的数字实例综述于下：

技术指标

在时间带通滤波器时，通常给的技术指标有：

中心频率f₀
偏离中心频率为Δf₁时的衰减L_Al
偏离中心频率为Δf₂时的衰减L_A2
中心频率处的衰减

在以前介绍的所有公式中，没有计算中心频率处衰减的公式。中心频率处的衰减是由于热损耗，实际上是给工艺提出了要求，即为了降低中心频率处衰减，必须改进焊接技术、部件光洁程度。

设计步骤

根据要求选择滤波器的类型：最大平滑式还是切比雪夫式（这时又要确定出波纹系数ε）。
确定腔数：在（1）的基础上选出n。（查表或计算都行）
计算滤波器的Q_T：由计算要求的Q_T 值。
计算各腔的Q_P：利用式30决定各腔的Q_P值。
求B 值：根据查注1确定出B 值。
确定各腔长度利用式16，得
是修正值（即使腔长于先缩短，这样工作频率也就高于原设计值了；然后，调动腔上的螺钉向腔内，逐渐降低了腔的谐振频率, 直至设计值），来决定各个腔的长度。
决定阻抗倒置器长度：利用式（31）决定各段阻抗倒置器的长度。
选用电感棒，利用$2-4节中的（3）中列出的公式确定电感棒尺寸，从经验与制造的角度来讲销钉太粗与太细都不好做。4GHz系统的滤波器，棒径选在1到3毫米之间是比较合适的。如果算得的三棒的棒径小于1毫米时，则可选用二棒公式试算。

实例：

给定指标:
根据上述指标，没有明确给出中心频率处的允许的热损耗，以及通带内的允许波纹值，一般可选最大平滑式，但是，目前有一种倾向，选0.1db切比雪夫滤波器，它是各种指标都颇到的最佳折衷方案，因为在一般微波滤波器中，热损耗（中心频率处为准）都远大于0.1db。所以0.1db的波纹是最后特性上体现不出来的，我们选最大平滑式。
确定腔数：
理论推导上很重视3 db处的频率，还取了一个专用名词-带通。
其它的止带频率还可以它来作基准，算出其相对频率。不过，也有光给出感兴趣的频率，用它们来确定滤波器的腔数。这样，原先的公式零值一定的变化，最大平滑滤波器的插入损耗和频率之间的表示式为：
在不知的情况下，我们可以直接把它们都代入上式，而且它们相除一下就有
考虑到实际波导滤波器有热损耗，带外衰减应有富裕，所以，选n=5 , 即确定这个滤波器应是五腔带通滤波器。
求3db带宽，用下列式
参考上面2Δf_C 的三个数据，我们选 2Δf_C= 46MHz
计算谐振腔Q_T腔
计算各腔 Q_P值
确定B值
利用注1查得
计算各腔长度
计算阻抗倒置器
(31)
选用棒径

第一和第五腔采用两棒，其他是三棒，最后选取棒径的值，是根据实验后的数据来定。

滤波器几何尺寸的计算到此全部完成，所求得的尺寸数据，现归纳为结构图。

以上我们举了一个实例，把带滤波器的设计计算进行了一遍。正如任何微波器件一样，设计计算不过是设计的一部分，还有更重要的一部分是实际验证和调试，绝不能认为计算出来了，设计便算完了。不经过实践验证的东西是不能采用的。另一方面，没有理论指导的实践是盲目的实践。就拿上面的带通滤波器来说，如果一点理论根据也没有，我们知道究竟应采用几个谐振腔，他们的长度应该是多少，电感棒应该用几根，粗细如何？可以说简直无从下手。

§ 1-6 直接耦合滤波器

将1/4波长耦合滤波器各个空腔相邻的电纳和耦合段用一个大电纳代替，如图46所示中的I-II段，即变成直接耦合滤波器。

把变换部分取出，图46（a）所示

1/4波长耦合向直接耦合转换是要求在工作频率下，有相同的插入衰减和插入相移。下面的讨论将指出,所选择的大电纳b'，可以给出与1/4波长耦合滤波器相同的插入衰减，但不能同时满足相同的插入相移。相移的差别是靠增加直接耦合滤波器的长度来补偿的。这意味着这两种滤波器有稍微不同的特性。因此直接耦合滤波器的谐振是较长的。此外，由下面的讨论会知道，这种滤波器的有载Q值将比1/4波长耦合滤波器的有载Q值大些。

电纳b’的确定
根据图47（a）可知，由电长度为φ₁的传输线和电纳jb₁ 组成的两端对网络，其通用矩阵[a]的表示式为：
式中
中心波长时的插入相移根据式（13）得：
                                                                （32）
这个结果也可以直接用jb₁ 和φ₁ 产生的相移相加而得到
整个1/4波长耦合段的矩阵[a]为
根据式（14）可找出插入衰减为
                                    （33）
但图47（b）直接耦合段的插入相移用类似图（a）的推导方法可求出
              （34）
为了使1/4波长耦合段与直接耦合段的插入衰减相同，令式（33）和式（34）相等，则得
                                        （35）
可见，b'比b₁,b₂的数值大，是个大电纳。
插入相移的补偿
根据图46(a)和式（32）可知，1/4波长耦合段的总的插入相移等于2π。而变换成图47（b）的直接耦合段后，仅电纳jb'的相移为tg^-1(b'/2) ，故要得到2π的插入相移，必须用电长度φ'的附加传输线补偿。即
所以
(36)
2π的相移对电磁波的传输是不起作用的。为了缩减直接耦合滤波器的谐振腔长度，我们舍去2π，这样并不影响滤波器的滤波特性，故
谐振腔的长度

根据图47（b）直接耦合滤波器的谐振腔的电长度为：

所以

同理

它们的机械长度分别为

最后指出，直接耦合滤波器谐振腔的有载Q值，可以应用前面提到的类似方法找出，若jb' 是谐振腔的两边界电纳值，则其有载Q值为

(37)

若只有两个谐振腔，两边电纳值为jb，而中间的电纳值为jb'，则双腔的有载Q值，通过繁杂推导可得：

(38)

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