摘要：以单周控制理论为基础，介绍了基本拓扑DC/DC变换器——Buck、Boost、 BuckBoost在单周控制方式下的工作原理；建立了统一的控制方程；建立了这三种变换器在单周控制下的交流小信号模型，并给出了规范化的统一模型；以统一模型为基础，设计了一个Buck变换器。

关键词：单周控制；变换器；模型；设计

AC Small Signal Model and Design of One-cycle Controlled DC/DC Converters

DU Xiong,XIE Pin-fang,SU Xiang-feng

Abstract:Based on the one-cycle control theory the operation principle of one-cycle controlled basic toplolgy DC/DC converters——Buck、Boost、Buck-Boost is introduced, and the canonical control equations are proposed, too. The AC small signal models of the three converters are constructed, and the canonical model is also presented. A Buck converter is designed based on the canonical model.

Keywords:One-cycle control;Converter;Model;Design

1  引言

    DC/DC变换器是一种非线性的动态系统。传统PWM变换器^[1]控制系统是通过对占空比的线性化调节来减小输出误差。这种控制方式对输入电源电压的扰动，特别是其大幅值的升降变化，往往不能瞬时跟踪调节占空比来抑制输出误差。因此，瞬态过冲总是存在于这种传统控制方式中，其持续时间由回路增益和带宽决定，通常要经过几个开关周期才能重新达到稳态。在电流控制模式^[1]中，通过加入人工斜坡来消除占空比大于等于0.5时产生的振荡。从理论上讲，如果人工斜坡的斜率选择得恰好和电感电流的下降斜率相等，可以在一个开关周期内消除电源电压扰动产生的影响。实际上，通常电感电流的下降斜率是几个状态变量的函数，人工斜坡的斜率不可能在任何时刻与电感电流下降斜率相等。因此，电流控制模式也不可能在一个开关周期内消除电源电压扰动产生的影响。滑模控制[1]与模拟信号离散时间区间变换器（ASDTIC）^[1]在固定频率下的一个开关周期中也不能消除电源电压扰动产生的影响。而一种新的控制方式——单周控制^[1,2]通过保持受控量的平均值恰好等于或正比于控制参考信号，能在一个开关周期内，有效地抑制电源侧的扰动。单周控制为恒频控制。该控制方式可广泛运用于非线性系统。本文介绍了单周控制的工作原理及单周控制DC/DC变换器的工作原理，建立了单周控制DC/DC变换器的交流小信号模型。

2  单周控制DC/DC变换器的工作原理 

2.1  单周控制的工作原理

     单周控制的基本思想是在每一个开关周期内使受控量的平均值恰好等于或正比于控制参考信号。其原理图如图1所示。

图1  单 周 控 制 原 理 图

    在每一个开关周期中，假定U_ref恒定。t=0时开关S₁闭合，S₂断开，对受控量进行积分；当t=DT_s(T_s为时钟周期)时，比较器输出发生变化，使S₁断开，S₂闭合，积分器复位。开关函数为：

这样就使得在每个时钟周期中，参考量与输入量满足以下关系:

U_ref=x(t)dt

由开关函数可以知道参考量与输出量的关系：

U_ref=y(t)dt

    图2给出了输入量x(t)、输出量y(t)、积分器输出量u_int、参考量U_ref的示意图。输出量u_int和参考量U_ref在图2的最下面，U_ref为一直线。从图2中可以看出，输入信号x(t)被开关斩波形成输出信号y(t)。输出信号y(t)的频率和脉宽是与开关函数一致的；而输出信号y(t)的包络线与输入信号x(t)一致。占空比D为模拟控制参考信号U_ref所调制。从而，达到了对控制变量平均值进行控制的目的。

图2  单 周 控 制 波 形

2.2  单周控制DC/DC变换器的工作原理

    以单周控制理论为基础，将其应用到DC/DC变换器中。下面将对三种基本拓扑变换器——Buck、Boost、 BuckBoost变换器在单周控制连续模式下的工作原理进行分析。

    三种变换器的输入－输出关系分别为：

    Buck型：U=D·U_g

    Boost型：U=U_g/(1－D)，将其整理得到U－U_g=D·U

    Buck-Boost型：U=－〔D/(1－D)〕U_g,将其整理得到U=D(U－Ug)

    式中U_g表示输入电压，U表示输出电压，D表示占空比。从上面的输入－输出关系中，可以看出，如果将等式左边的项当作单周控制方式中的参考量U_ref,将等式右边的项当作受控量的周期平均值，则刚好与单周控制方式的控制方程相吻合。表1列出了这三种DC/DC变换器单周控制下的关系。

3  单周控制DC/DC变换器的交流小信号模型

    分步建立单周控制DC/DC变换器的交流小信号模型,首先建立主电路部分的交流小信号模型,并且给出规范化的模型;然后建立单周控制部分的交流小信号模型,同样也给出规范化的模型;最后给出整体的规范化交流小信号模型。

3.1  主电路的交流小信号模型

    以Buck变换器为例，如图3所示。对于所讨论的物理量，进行去除开关纹波的处理。其基本思想是用一个开关周期内的平均值代替瞬时值。即

u（t）≈〈u(t)〉_Ts=u(τ）dτ

式中：T_s——开关周期；

      u（t）——任一物理量。

图 3  单 周 控 制 Buck变 换 器 原 理 图

表1  三种DC/DC变换器单周控制关系

	Buck	Boost	BuckBoost
参考量	U	U-Ug	U
受控量	Ug	U	U-Ug
控制方程	U=Ugdt	U-Ug=Udt	U=(U-Ug)dt

    对 所 讨 论 的 物 理 量 作 小 信 号 近 似 ： 假 设 电 感 电 流i(t)、 电 容 电 压u(t)、 占 空 比d(t)、 电 源 电 压u_g(t)、 电 源 输 出 电 流i_g(t)等 物 理 量 的 交 流 分 量 幅 值 远 小 于 其 恒 定 分 量 。 去 除 开 关 纹 波 分 量 后 的 各 量 可 表 示 为 下面5个方程，记为方程Ⅰ。

〈i(t)〉_Ts=I＋(t)     I》(t)

式中：I为恒定分量，(t)为交流分量；

〈u(t)〉_Ts=U＋(t)    U》(t)

式中：U为恒定分量，(t)为交流分量；

d(t)=D＋(t)    D》(t)

式中：D为恒定分量，(t)为交流分量；

〈u_g(t)〉_Ts=U_g＋(t)     U_g》(t)

式中：U_g为恒定分量，(t)为交流分量；

〈i_g(t)〉_Ts=I_g＋(t)  I_g》(t)

式中：I_g为恒定分量，(t)为交流分量。

    图3中当开关倒向1时：

    L〔di（t）/dt〕=u_g(t)－u(t)

    C〔du(t)/dt〕=i(t)－u(t)/R

    i_g(t)=i(t)

    当开关倒向2时:

    L〔di（t）/dt〕=－u(t)

    C〔du(t)/dt〕=i(t)－u(t)/R

    i_g(t)=0

    对上面方程中的各物理量取周期平均，得到如下三个方程，记为方程Ⅱ。

    L〔d〈i(t)〉_Ts/dt〕

      =d（t）[〈u_g(t)〉_Ts－〈u(t)〉_Ts]u_g(t)－

       d′ (t)〈u(t)〉_Ts

式中：d′(t)=1－d(t)

      C〔d〈u(t)〉_Ts/dt〕=〈i(t)〉_Ts－〈u(t)/R〉_Ts

     〈i_g(t)〉_Ts=d（t）〈i(t)〉_Ts

    将方程Ⅰ代入方程Ⅱ，略去直流分量和二阶分量，得到主电路部分的交流小信号模型。

    L〔d(t)/dt〕=D(t)＋u_g(t)－(t)

    C〔d(t)/dt〕=D(t)＋I(t)－(t)/R

     (t)=D(t)＋I(t)

    图4为其等效电路图。对图4中的电压源U(t)进行电源转移，移到变压器的左边。同时将时域的小信号模型转换到复频域，并且考虑负载侧电流_load(s)的变化对系统的影响，形成规范形式的主电路交流小信号模型。如图5所示。

图4  Buck变 换 器 主 电 路 的 交 流 小 信 号 模 型

图5  DC/DC变 换 器 的 规 范 化 交 流 小 信 号 模 型

图中：M(D)=D；

      L_e=L；

      e(s)=U/D²；

      j(s)=I=U/R。

    对Boost、 Buck-Boost型变换器可以采用同样的方法，得到图5中的规范化交流小信号模型。其参数如表2所示。

表2  规范化交流小信号模型参数

由图5中的规范化模型，可以写出主电路部分的传递函数

G_ud（s）=

G_ug（s）=

Z_out（s）=

3.2  单周控制电路的交流小信号模型

    为了更好地稳定输出电压，提高变换器的稳定性。引入了参考电位，与输出电压比较后得到的误差信号经过补偿网络，作为反映输出电压的信号，进入后面的控制环节。输出电压取样值与参考电位比较得到的误差信号经过补偿网络后得到信号u_c(t)，用它代替输出电压信号u(t)。同样采用小信号近似。

    u_c(t)≈〈u_c(t)〉_Ts=U_c＋(t)    U_c》(t)

    对于Buck变换器，其控制方程为：

    d(t)·〈u_g(t)〉_Ts=〈u_c(t)〉_Ts

    进行小信号扰动，并线性化处理，得到：

    D(t)＋U_g(t)=(t)

    对上式整理得到：

    (t)=－·(t)＋·(t)

        =F_G·(t)＋F_C·(t)

式中：F_G=－D/U_g；F_C=1/U_g。

    对于Boost变换器，其控制方程为：

    d(t)·〈u_c(t)〉_Ts=〈u_c(t)〉_Ts－〈u_g(t)〉_Ts

    同样进行小信号扰动，并且线性化处理，可以得到：

    (t)=F_G·(t)＋F_C·(t)

式中：F_G=－1/U_c；F_C=(1－D)/U_c。

    对于Buck-Boost变换器，其控制方程为：

    〈u_c(t)〉_Ts=d(t)·〔〈u_c(t)〉_Ts－〈u_g(t)〉_Ts〕

    同样进行小信号扰动，并线性化处理，可以得到：

    (t)=F_G·(t)＋F_C·(t)

式中：F_G=D/(U_c－U_g)；F_C=(1－D)/(U_c－U_g)。

    综上所述，单周控制部分的规范化交流小信号模型为：

    (t)=F_G·(t)＋F_C·(t)，其中F_G、F_C的参数如表3所示。

表3  三种变换器型式的FG与FC

3.3  整体的规范化交流小信号模型

    根据前述分析可以建立整个系统的模型，其框图如图6所示。由整体模型框图，可以写出系统的闭环输入输出关系。

图6  单 周 控 制DC/DC变 换 器 的整 体 规 范 化 交 流 小 信 号 模 型

    令开环传递函数

    T(s)=H·G_c(s)·F_C·G_ud(s)

    则闭环输入输出关系为:

     (s)=··(s)＋

          ·(s)－·(s)

4  设计与仿真结果

    以Buck变换器为例，下面给出了单周控制DC/DC变换器的设计过程。主电路参数分别为C=500μF，L=50μH，f_s=100kHz，U_g=28V，U=15V。由前面的交流小信号模型，可以得出变换器的开环传递函数为：

    T_s=G_c(s)/3〔1＋(s/Q₀ω₀)＋(s/ω₀)²〕

    当补偿网络为1时，Q₀=9.5，f₀=ω₀/2π=1kHz，相角裕量接近于0。

    为了提高变换器的稳定性，需要增大转折频率和相角裕量。在兼顾超调量的同时，把相角裕量增大到52°；转折频率提高为开关频率的1/20，即5kHz。设计的补偿网络为

    G_c(s)=(1＋ω_zs)/(1＋ω_ps)

式中：f_z=ω_z/2π=1.7kHz；f_p=ω_p/2π=14.5kHz。

    根据上面的设计，图7给出了仿真波形。为了考察变换器的稳定性，输入电压加入了交流扰动分量，如图7中最上面的波形所示。负载也从6Ω变化到3Ω，图7中间的波形为负载电流变化的情况，下面的波形为输出电压的波形。

图7  仿 真 波 形

    从仿真波形可以看出，根据单周控制变换器的统一模型设计的Buck变换器具有很强的抗输入侧电压干扰和负载变化的能力，稳定性好，响应速度快，输出电压纹波小。

5  结论

    文中推导了单周控制DC/DC变换器的规范化控制方程，建立了单周控制DC/DC变换器的规范化交流小信号模型。为单周控制DC/DC变换器的设计提供了理论基础。设计实例和仿真结果证明了该模型的正确性与实用性。

参考文献

[1]  K.M,Smeldy and S.Cuk.One-cycle control of switching converters[J]. IEEE Trans. Power Electron., 1995, 10(6)

[2] K.M,Smeldy and S.Cuk.Dynamics of one-cycle controlled Cukconverters[J]. IEEE Trans. Power Electron.,1995,10(6)

[3] R.D.Middlebrook.Modeling current pogrammed buck and boost regulators[J]. IEEE Trans. Power Electron.,1989,4(1)

[4]  寿晓强.一种新颖DC/DC变换器的研究[J].电机与控制学报，1997,(4)

作者简介

    杜  雄,男,硕士研究生，主要从事开关变换器、有源电力滤波等方面的研究。

    谢品芳,女,副教授，从事电网络理论教学和科研工作，研究领域为电网络理论和半导体开关电源。

苏向丰男高级工程师。研究方向为仪器与仪表、信号检测和处理。